Teoría de GRAFOS: Matematica II Final Blumenfarb. Marzo 2014

Bueno, el disclaimer lo hice en el post anterior. Voy a poner unas preguntas de finales pasados y voy a tratar de resolverlas. No quiere decir que estén bien. Sin embargo es lo más próximo que me puedo acercar a la realidad yo solo.

Pregunta de un final de Marzo 2011:

Definir grafo poligonal. ¿Cuándo es regular? ¿Cuándo es completamente regular? Mencionar todos los grafos poligonales y dibujar dos. ¿Todos los grafos cumplen con la ley de euler o hay excepciones? Vamos a ver.

Para definir grafo poligonal, primero definamos grafo plano.
Un GRAFO PLANO: es plano si, y sólo si es isomorfo a un grafo que puede dibujarse en el plano de forma tal que las aristas sólo se toquen en los vertices.

Los grafos no planos son dos: el K3,3 y el K5.
Cualquier grafo isomorfo de estos, o que tenga un subgrafo que sea alguno de estos dos no es plano.
K3,3
k,5

Entonces, un GRAFO POLIGONAL: es un grafo plano conexo el cual es una reunion de ciclos tal que existe un ciclo minimo y uno maximo. Un grafo poligonal divide el plano en zonas poligonales. El interior de cada ciclo se conoce como cara.
Puede comprobarse que el número de caras más el número de vertices es igual al numero de aristas más dos. Esto se conoce también como la ley de euler. C + V = A + 2

Tododos los poliedros regulares pueden expresarse como grafos poligonales. Estos son: El tetraedro, el cubo (hectaedro),el octaedro, el dodecaedro y el icosaedro.



Un grafo poligonal es REGULAR cuando el grado de cada vertice es igual.
Un grafo poligonal es COMPLETAMENTE REGULAR si cada cara limita con la misma cantidad de aristas

Pregunta de un Final de Julio 2013:

Defina grafos poligonales, construya un grafo de 4 caras y 6 vertices. ¿Cuales son los poliedros regualers, nomberlos todos y dibuje como mínimo tres y por que polígonos están rigidos.
Como ven muy parecida a la anterior. Nunca está de más repetir para internalizar.

Grafo Polígonal: es un grafo plano conexo en donde la suma de las caras más la suma de los vertices es igual a la suma de las aristas más dos.

Los poliedros regulares son el tetraedro, el cubo, el octaedro, el dodecaedro y el icosaedro. Dibujarlos?
Estan todos en wikipedia miren:
http://es.wikipedia.org/wiki/Poliedro_regular

Aclaración: los que nos mencionaron en clase solo fueron los convexos.

Por qué poligonos están regidos es fácil. Mirenlos. El Cubo, por cuadrados, el tetrahedro por triángulos equilateros..

Pregunta de un final del 2010:

¿Qué es un grafo plano? ¿Cuál es la condición necesaria para que un grafo sea plano? cuál es la formula de euler? que es un grafo dual? ejemplificar todas las definiciones.

Devuelta algunos conceptos se repiten:
Un grafo PLANO es es un grafo conexo en donde las aristas solamente se tocan entre ellas en los vertices. Un grafo es plano sólo si no contiene a ningún subgrafo isomorfo a K3,3 o K5.
La formula de euler establece que si un grafo es plano y conexo se deberia dar que las caras + vertices = aristas + 2.
Un grafo dual de otro grafo G plano, es un grafo que tiene un vertice por cada cara de G y una cara por cada vertice. Se llama dual ya que las propiedades son simetricas. Si H es el grafo dual de G, entonces G es el grafo dual de H.
Para ejemplificar si cursaron y aprobaron matemática deberían saber ja ja ja.

Pregunta de un final de allí por el febrero de 2013:

Definir grafo Plano, dar condición necesaria y suficiente para que sea plano, definir recorrido EULERIANO, explicar los tipos de recorridos eulerianos, (eso no lo entendi, me parece que lo copiaron mal cuando lo subieron). Dar ejemplo de TODO.

Explicamos lo que es un grafo PLANO devuelta? dale,
Un grafo plano es un grafo conexo en donde el unico contacto entre aristas se da en los vertices. Para que un grafo sea plano no puede tener ningún subgrafo que sea K3,3 o K5.

Recorrido Euleriano: Se llama Recorrido euleriano a un recorrido que comienza y termina en un mismo vertice pasando exactamente una vez sola por arista. Para que estto exista el grafo debe ser conexo y el grado de todos los vertices par.

Calculo que la pregunta decia q expliquemos los tipos de recorrido. Por ende pongo el Hamiltoniano.
El hamiltoniano es un recorrido similar. Es un ciclo que comienza y termina en un mismo vertice pasando exactamente una vez por cada vértice. Es mpas dificil de comprobar que los ciclos eulerianos ya que no hay una condición necesaria o suficiente para que se de el recorrido o ciclo hamiltoniano

Pregunta de un final de febrero 2013:

¿Qué es un mosáico? Que polígonos permiten el total recubrimiento del plano? Explicar el problema de coloración.
Buen, la definición de mosaicos, sinceramente, pa que te la piden!
Esto es lo que yo pienso porque lo lei en wikipedia y lo lei en el libro de matematica de Santa María.

Un mosáico es una obra artistica conformada por incrustación de piedras, o de vidrios, generalmente coloridos.

Podría recubrise el plano con los siguientes polígonos regulares:
Triángulo equilatero, cuadrados, y hexagonos.

El problema de coloración nace cuando se intenta resolver la duda de cuantos colores son requeridos para colorear un mapa sin que haya países aledaños de un mismo color. Se requieren cuatro colores para colorear cualquier mapa polígonal.

Si leen este articulo de la wikipedia http://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_los_cuatro_colores
Daranse cuenta que no es aplicable a la vida real ya que hay países que continuan fuera de su territorio principal como el caso de EEUU - ALASKA. Por ende se necesitan más colores.


En fin, mis fuentes son el libro de Matemática para diseño y arquitectura de Santa María y Nicolini, Wikipedia obviamente y mi propia deducción. He sacado cosas de algunas páginas que encontre buscando en google